Variant və standart sapma

Arxivləşdirilmiş olaraq təyin olunan məlumatlar istinad, araşdırma və ya uçot məqsədləri üçün verilir. Kanada Hökumətinin Web Standartlarına tabe deyil və arxivləşdirildikdən sonra dəyişdirilməmiş və ya yenilənməmişdir. Mövcud olanlardan başqa bir format tələb etmək üçün bizimlə əlaqə saxlayın.

Aralıq və kvartillərdən fərqli olaraq, dispersiya yayılma ölçüsü yaratmaq üçün bir məlumat dəstindəki bütün dəyərləri birləşdirir. Variant ( S 2ilə simvolizə olunur ) və standart sapma ( S iləsimvollaşdırılan varyansın kvadrat kökü ) ən çox istifadə olunan yayılma ölçüləridir.

Variantın bir məlumat toplusunun yayılma ölçüsü olduğunu bilirik. Məlumat toplusunun ortalamasından hər bir rəqəmin orta kvadrat sapması kimi hesablanır. Məsələn, 1, 2 və 3 rəqəmləri üçün ortalaması 2, dispersiyası 0,667 -dir.

[(1 - 2) 2 + (2 - 2) 2 + (3 - 2) 2] ÷ 3 = 0.667

[ortalamadan kvadratik sapma] ÷ müşahidə sayı = variasiya

Variant (S 2) = dəyərlərin ortadan kvadrat sapması

Variantın hesablanması, kvadratik sapmalardan ibarətdir, buna görə də orijinal müşahidələr ilə eyni ölçü vahidinə malik deyil. Məsələn, metr (m) ilə ölçülən uzunluqların kvadrat metr (m 2) ilə ölçülən bir varyansı var.

Varyansın kvadrat kökünü götürmək bizə orijinal miqyasda istifadə olunan vahidləri verir və bu standart sapmadır.

Standart sapma (S) = dispersiyanın kvadrat kökü

Standart sapma, orta tendensiyanı hesablamaq üçün ortalamadan istifadə edildikdə statistik praktikada ən çox istifadə olunan yayılma ölçüsüdür. Beləliklə, ortalamanın ətrafına yayılmış ölçülər. Ortalama ilə sıx əlaqələri olduğu üçün, orta meyl zəif bir ölçü verərsə, standart sapma çox təsirlənə bilər.

Standart sapma, bir dəyərin standart sapmanın nəticələrinə böyük ölçüdə töhfə verə biləcəyi dəyərlərdən də təsirlənir. Bu baxımdan, standart sapma kənarların mövcudluğunun yaxşı göstəricisidir. Bu, standart sapmanı kənar olmayan simmetrik paylamalar üçün çox faydalı bir yayılma ölçüsü halına gətirir.

Standart sapma, təxminən eyni ortalamaya malik olan iki ayrı məlumat dəstinin yayılmasını müqayisə edərkən də faydalıdır. Kiçik standart sapma ilə verilənlərin orta ölçüsü daha dar ölçüdə yayılmışdır və buna görə də ümumiyyətlə nisbətən daha az yüksək və ya aşağı dəyərə malikdir. Standart sapması aşağı olan bir məlumat dəstindən təsadüfi olaraq seçilmiş bir maddənin, standart sapması daha yüksək olan bir məlumat dəstindəki bir maddəyə nisbətən ortalamaya yaxın olma şansı daha yüksəkdir.

Ümumiyyətlə, dəyərlər nə qədər geniş yayılırsa, standart sapma da o qədər böyükdür. Məsələn, təsəvvür edin ki, 30 şagirddən ibarət bir sinifdən iki fərqli imtahan nəticəsi dəsti ayırmaq məcburiyyətindəyik, birinci imtahanda 31% -dən 98% -ə qədər, digərləri 82% -dən 93% -ə qədərdir. Bu diapazonları nəzərə alsaq, ilk imtahanın nəticələri üçün standart sapma daha böyük olardı.

Məlumatların geniş yayıldığını nəzərə almaq üçün standart sapmanın nə qədər böyük olması baxımından şərh etmək çətin ola bilər. Məlumat dəstinin orta dəyərinin ölçüsü standart sapmanın ölçüsündən asılıdır. Milyonlarla ölçülən bir şeyi ölçərkən, orta dəyərə "yaxın" olan ölçülərə sahib olmaq, iki fərdin çəkisini ölçdüyünüzlə eyni məna daşımır. Məsələn, illik gəliri 10.000 dollar olan iki böyük şirkətin ölçüsü olduqca yaxın hesab olunur, çəkisi 30 kiloqram olan iki şəxsin ölçüsü isə bir -birindən çox uzaq hesab olunur. Bu səbəbdən, əksər hallarda, standart sapmanın ölçüsünü məlumatların ortalamasına görə qiymətləndirmək faydalıdır.

Standart sapma həddindən artıq dəyərlərə daha az həssas olsa da, standart sapma hələ də yarı kvartil diapazonundan daha həssasdır. Yüksək dəyərlərin (kənarların) olma ehtimalı özünü göstərirsə, standart sapma yarı kvartil diapazonu ilə tamamlanmalıdır.

Standart sapmanın xüsusiyyətləri

Standart sapma istifadə edərkən aşağıdakı xüsusiyyətləri nəzərə alın.

  • Standart sapma yalnız bir məlumat dəsti ortasında yayılma və ya dağılma ölçmək üçün istifadə olunur.
  • Standart sapma heç vaxt mənfi olmur.
  • Standart sapma kənarlara həssasdır. Tək bir kənar standart sapmanı qaldıra bilər və öz növbəsində yayılma şəklini təhrif edə bilər.
  • Təxminən eyni ortalamaya malik olan məlumatlar üçün yayılma nə qədər çox olarsa, standart sapma da o qədər çox olar.
  • Bir məlumat dəstinin bütün dəyərləri eynidirsə, standart sapma sıfırdır (çünki hər bir dəyər ortalamaya bərabərdir).

Normal olaraq paylanmış məlumatları təhlil edərkən, məlumat intervallarını hesablamaq üçün standart sapma ortalamayla birlikdə istifadə edilə bilər.

Məlumat toplusunda = ortalama, S= standart sapma və x= bir dəyərdirsə, o zaman

  • intervalında data yalan 68% haqqında: - S .
  • məlumatların təxminən 95% -i aralıqdadır: - 2S + 2S.
  • məlumatların təxminən 99% -i aralıqdadır: - 3S + 3S.

Diskret dəyişənlər

Nmüşahidədən ibarət olan diskret dəyişən üçün dispersiya aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Nmüşahidədən ibarət olan ayrı bir dəyişən üçün standart sapma , dispersiyanın müsbət kvadrat köküdür və aşağıdakı kimi təyin olunur:

Diskret dəyişən üçün standart sapmanı tapmaq üçün bu addım-addım yanaşmadan istifadə edin.

  1. Orta hesablayın.
  2. Hər bir müşahidədən ortalamanı çıxarın.
  3. Əldə olunan müşahidələrin hər birini kvadrat halına salın.
  4. Bu kvadrat nəticələrini birlikdə əlavə edin.
  5. Bu cəmi müşahidələrin sayına bölün (variasiya, S 2).
  6. Müsbət kvadrat kökdən istifadə edin (standart sapma, S).

Misal 1 - Standart sapma

Bir toyuq səkkiz yumurta qoyur. Hər bir yumurta aşağıdakı kimi ölçülür və qeyd olunur:

60 g, 56 g, 61 g, 68 g, 51 g, 53 g, 69 g, 54 g.



    İndi standart sapmanı tapın.

Cədvəl 1. Yumurtaların çəkisi, qramla Ağırlıq (x) (x -) (x -) 2 60 56 61 68 51 53 69 54 472
1 1
-3 9
2 4
9 81
-8 64
-6 36
10 100
-5 25
320


Yuxarıdakı cədvəldəki məlumatlardan istifadə edərək bunu görə bilərik

Tezlik cədvəli (diskret dəyişənlər)

Müşahidələr tezlik cədvəlinə qruplaşdırılarsa, varyans və standart sapma düsturları bir qədər dəyişir. Kvadrat sapmalar hər bir tezliyin dəyəri ilə vurulur və sonra bu nəticələrin cəmi hesablanır.

Bir tezlik cədvəlində, diskret bir dəyişən üçün dispersiya olaraq təyin olunur

Misal 2 - Tezlik cədvəlindən istifadə edərək hesablanan standart sapma

Otuz fermerdən tipik bir məhsul yığımı mövsümündə neçə fermer işçisini işə götürdükləri soruşuldu. Onların cavabları belə idi:

4, 5, 6, 5, 3, 2, 8, 0, 4, 6, 7, 8, 4, 5, 7, 9, 8, 6, 7, 5, 5, 4, 2, 1, 9, 3, 3, 4, 6, 4

Cədvəl 2. Otuz fermerdən tipik biçin mövsümündə neçə fermer işçisi işə götürdükləri soruşuldu. Onların cavabları belə idi: İşçilər (x) Tally Tezlik (f) (xf) (x -) (x -) 2 (x -) 2 f 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 -5 25 25
1 1 -4 16 16
2 4 -3 9 18
3 9 -2 4 12
6 24 -1 1 6
5 25 0 0 0
4 24 1 1 4
3 21 2 4 12
3 24 3 9 27
2 18 4 16 32
30 150 152

Misal 3 - Qruplaşdırılmış dəyişənlərdən istifadə edərək standart sapma (davamlı və ya diskret)

220 şagirdə həftədə neçə saat televizora baxdıqları soruşulub. Bu məlumatla 220 tələbənin televizora baxdığı saatların orta və standart sapmasını hesablayın.

  1. Birincisi, tezlik olaraq tələbə sayından istifadə edərək, zaman aralıqlarının orta nöqtəsini tapın.
  2. İndi orta nöqtəni ( x) və tezliyi ( f) istifadə edərək ortalamanı hesablayın .

Qeyd: Bu nümunədə, ən yaxın tamsayıya yuvarlaqlaşdırılmış davamlı bir dəyişəndən istifadə edirsiniz. 10 -dan 14 -ə qədərolan qrup əslində 9.5 -dən 14.499 -a qədərdir (9.5 -in 10 -a yuvarlanacağı və 14.499 -un 14 -ə yuvarlanacağı kimi). Aralığın uzunluğu 5 -dir, amma orta nöqtə 12 -dir (9.5 + 2.5 = 12).

6560 = (2 X 12 + 12 X 17 + 23 X 22 + 60 X 27 + 77 X 32 + 38 X 37 + 8 X 42)

Sonra, xf, (x -), (x -) 2(x -) 2 fdüsturlarının saylarını hesablayın .

Aşağıdakı tezlik cədvəlinə əlavə edin.

Cədvəl 4. Televizora baxmağa sərf olunan saatların sayı Saat Orta nöqtə (x) Tezlik (f) xf (x -) (x -) 2 (x -) 2 f 10 -dan 14 -ə qədər 15 -dən 19 -a qədər 20 ilə 24 arasında 25 -dən 29 -a qədər 30 ilə 34 arasında 35-39 40 ilə 44 arasında
12 2 24 -17.82 317.6 635.2
17 12 204 -12.82 164.4 1.972.8
22 23 506 -7.82 61.2 1.407.6
27 60 1.620 -2.82 8.0 480.0
32 77 2.464 2.18 4.8 369.6
37 38 1.406 7.18 51.6 1.960.8
42 8 336 12.18 148.4 1.187.2
220 6.560 8.013.2

Misal 4 - Standart sapma

Standart sapmanı tapmaq üçün yuxarıdakı cədvəldə göstərilən məlumatlardan istifadə edin.

Qeyd:Hesablamalar zamanı, bir dəyişən sinif fasilələri ilə qruplaşdırıldıqda, intervalın orta nöqtəsi intervaldakı hər bir dəyərin yerinə istifadə olunur. Beləliklə, hər bir intervalda müşahidələrin yayılması nəzərə alınmır. Bu, standart sapmanı həmişə həqiqi dəyərdən daha az edir . Buna görə də bunu bir təxmini hesab etmək lazımdır.

Misal 5 - Standart sapma

Tezlik paylanmasının təxminən normal olduğunu düşünərək, əvvəlki nümunə müşahidələrinin 95% -nin baş verəcəyi gözlənilən aralığı hesablayın.

= 29.82, s= 6.03

Aşağıdakı düsturdan istifadə edərək aralığı hesablayın: - 2s< x< + 2s

29.82 - (2 X 6.03) < x

29.82 - 12.06 < x

17.76

Bu, bir tələbənin həftədə 18 saatdan 42 saata qədər televizora baxacağına 95% əminlik deməkdir.