Bridge oyununda kiməsə kostyum vermə şansı nə qədərdir?

Körpü oyununda, bəzi oyunçuların tam kostyum sahibi olma ehtimalı nədir?

(Bir Bridge kart oyununda dörd oyunçu var. Bridge kartlarından ibarət bir göyərtə, hər biri on üçdən ibarət dörd kostyumda düzülmüş 52 kartdan ibarətdir. Oyun körpüsü kartları təsadüfi olaraq dörd oyunçuya, yəni Şimali, Cənub, Şərq, Qərb və s. hər biri 13 kart alır.)

Bu problemi həll etmək üçün statistika ilə bağlı müxtəlif kitablara müraciət edirəm.

3 Cavablar 3

Cavab kiçik bir rəqəmdir, amma kiminsə ABŞ -da nə vaxtsa iddia edildiyini söyləmək üçün kifayət qədər böyükdür. Bu yazı, bu şansın necə tapılacağını (üç sadə hesablama ardıcıllığı ilə) göstərir, bir şərh verir və necə düzgün hesablanacağını göstərərək yekunlaşdırır.

Kiçik bir ümumiləşdirmə ilə başlayaq,çünki problemin mahiyyətini açır. Bir "kostyum" $ k \ ge 1 $ kartlarından ibarət olsun. "Göyərtə" $ m \ ge 1 $ fərqli kostyumların birliyidir. Sualda $ k = 13 $ və $ m = 4 $. Müqaviləni modelləşdirmək üçün güvertənin təsadüfi şəkildə qarışdırıldığını və qarışıqlıqda $ k $ bitişik kartlardan ibarət $ m $ qruplarına bölündüyünü düşünün. Bu qrupların hər biri bir "əl" dir.

Əvvəlcə əvvəlcədən təyin edilmiş bir oyunçunun bir kostyumla qarşılaşma şansını tapaq.$$ \ binom var = \ frac $$ mümkün əllər, hamısı eyni ehtimalla və bunların $ m $ -ı kostyumlardır. Bu şans buna görədir

Sualın verilməsi budursa, işimiz bitdi. Ancaq daha çox ehtimal edilən şərh, bir və ya daha çox əlin kostyum olması şansını istəməsidir .

Bunu etmək üçün əvvəlcədən təyin edilmiş iki oyunçuya kostyum vermə şansını tapmağa davam edin .İlk oyunçuya kostyum verilməsi şərtilə ($ (1) $ verilən şans), $ m-1 $ kostyumları qalır. Nəticə $ (1) $, şərti ehtimal vermək üçün $ m $ ilə əvəzlənərək $ m-1 $ ilə tətbiq olunur. Bu iki dəyər birgə ehtimal vermək üçün çoxalır

Bu mülahizəniinduktiv olaraq davametdirmək, $ s \ ge 1 $ əvvəlcədən təyin edilmiş oyunçuların hər birinə uyğun geyim şansı verir.

Daxiletmə-İstisna Prinsipi ("PIE") bir və ya daha çox oyunçunun (əvvəldən təyin edilməmiş) kostyum sahibi olma şansını təmin edir ; bu

Məxrəcdəki kiçik asallar gözlənilirdi: $ mk = 52 $ -ı keçə bilməzlər. Saydakı böyük ədədlər, $ p (m, k) $ üçün ümumi qapalı formulun olmadığını qəti şəkildə göstərir.

Bu cavab nə deməkdir?

Vikipediya 1904 -cü ilə qədərki körpünün müasir versiyasını izləyir, əvvəllər ABŞ -da daha populyar olduğunu bildirir və bu gün ABŞ -da təxminən 25 milyon oyunçunun olduğunu bildirir. Bridge oyunçusu olmağın nə demək olduğunu dəqiq bilmək çətin olsa da, hər birinin hər il dörd oyunçunun iştirak etdiyi bir neçə əllə bir neçə yüz əl arasında oynamasını gözləyə bilərik. (Duplicate Bridge -də bəzi sövdələşmələr dəfələrlə oynanılır, amma bu çətinliyi görməməzlikdən gəlin və bunu "bir neçə yüzdən yüzə qədər" hesablamağa daxil edək.) ABŞ -da hər il bir kostyumun satıldığı gözlənilən Bridge sövdələşmələrinin sayı. məhsulun ondan yüz qatına qədər

$$ p (4,13) \ dəfə 25 \ dəfə 10^6 \ təxminən \ frac . $$

1904 -cü ildən bəri baş verən 110 dollar və ya daha çox ili nəzərə alsaq, bu gözləntini daha iki böyüklük əmri ilə artıra bilərik. Nəticə 1/10 ilə $ 10 arasında dəyişir. $ P (4,13) $ "qeyri -mümkün qədər kiçik" görünsə də, əhəmiyyətsiz deyil: Bridge oyunçularının nə qədər aktiv olduqlarına dair fərziyyələrə əsasən, ABŞ -da inandırıcı və çox güman ki, bir kostyumun satıldığı bir yerdir.

Bir çox insan belə əllər haqqında məlumat verib. Açıq izah budur ki, bəzi (bir çox?) Göyərtələr təsadüfi qarışdırılmır və ya işlənmir. Peter Rowlett -ə Dörd Mükəmməl Əl və ya On Üç Meydanda Elm Xəbərlərinə baxın .

Hesablama qeydləri

Cavabı hesablamaq $ (1) $, $ (2) $ və $ (3) $ düsturlarında göründüyü qədər sadə və sadədir:aşağıdakı R nümunəsinə baxın. PIE tətbiq edərkən, son düsturda alternativ toplama və çıxma səbəbiylə $ m $ böyük dəyərlərdən qaçınmaq ən yaxşısıdır: məbləğdəki bəzi fərdi şərtlər nəticədən daha böyük ölçüdə olduqda yuvarlaqlaşdırma xətası sürətlə toplana bilər. Bu vəziyyət daha gözəldir. Ümumiyyətlə, ilk dövr-yalnız müəyyən bir oyunçunun kostyum əldə etmə şansına əsaslanaraq-qalan hissədə üstünlük təşkil etdiyindən, bu kod, yuvarlaqlaşdırma səhvinin qarşısını almaq üçün məbləği tərs qaydada yerinə yetirir.

Nəticə IEEE üzən nöqtə hesabına xas olan tam dəqiqliyə uyğundur.

İstinadlar

Gridgeman, NT "İtkin Sazişin Sirri". Amer. Stat. 18, 15-16, fevral 1964.

Mosteller, F. "Mükəmməl Körpü Əl." Həll yolu ilə ehtimal olunan əlli çətin problemdəki 8 -ci problem. New York: Dover, s. 2 və 22-24, 1987.

Wolfram Mathworld eyni rasional dəyəri $ p (4,13) $ üçün sitat gətirir. İstinadlar Mosteller və Gridgemandır.