Permütasiya, Kombinasiya və Bozulma: Formula, Nümunələr

A permutationvə ya birləşməsisifariş şeyi bir sıra edir. "Şeylər" hər şey ola bilər: planetlərin siyahısı, ədədlər dəsti və ya baqqal siyahısı. Siyahı müəyyən bir qaydada ola bilər (1 -ci, 2 -ci, 3 -cü kimi) və ya qaydada olması lazım olmayan bir siyahı (qarışıq salatın tərkibindəki maddələr kimi). Permütasiya və birləşmə problemlərini həll etməyinən çətin tərəfi budur: hansının birləşməsi, hansının dəyişdirilməsi?

  • Kombinasiya: Əşyalarınızınhansı sıraya sahib olması ilə maraqlanmırsınızsa , bu bir kombinasiyadır. Tərkibləri və ya musiqi tonlarını birləşdirməyi düşünün: Bir qabda un, duz və su duz, su və unla eynidir. Bir neçə nömrəni seçdiyiniz lotereya biletləri birləşmədir. Sifarişin heç bir əhəmiyyəti olmadığı üçün (ancaq seçdiyiniz nömrələr bunu edir). Riyaziyyatda funksiyaların birləşməsi və ya xətti birləşmələr kimi birləşmələriniz də ola bilər.
  • Permütasiya: Sifarişəəhəmiyyət verirsinizsə , bu bir yerdəyişmədir. Birinci, ikinci və üçüncü yerlər üçün qaliblərin seçilməsi sıralamanın vacib olduğu üçün bir yerdəyişmədir. Permütasiya gündəlik dildə istifadə etdiyiniz bir söz deyil. Bu ikisinin daha kompleksidir. Detallar vacibdir: əvvəlcə yumurta? Sonra duz? Yoxsa əvvəlcə un?

"Kombinasiyalar" sözü "birləşmə kilidi" kimi şeylər üçün İngilis dilinə keçdi. Lakin kilid cür siz velosiped ətrafında qoymaq lazımdır üçün, çünki ", permutation lock" a adlandırmaq (a stats baxımından qeyd ən azı dən) edir olsun.

Real həyatda istifadə edin

Niyə bütün bunları real həyatda maraqlandırırıq? Kombinasiyaların və permütasiyaların yüzlərlə (bəlkə də minlərlə) tətbiqi var,bunların ən bariz tərəfi qumardır:

  • Lotereya təşkilatları, əmsalları hesablamaq üçün nömrələrin neçə yolla seçilə biləcəyini bilməlidir.
  • Slot maşını istehsalçıları, təkərlərdəki şəkillərin sıralamanın neçə üsulunu bilməli, əmsalları və pul mükafatlarını hesablamalıdır.

Permütasiyalar = Daha çox imkanlar

Həmişə yerdəyişmələrdən daha az birləşmə var və

bunun səbəbi budur: 1, 2, 3, 4 rəqəmlərini götürün. Sifarişin vacib olmadığı 3 elementi neçə yolla seçə biləcəyinizi bilmək istəyirsinizsə təkrar etməyə icazə verilir), seçə bilərsiniz:

  • 123
  • 234
  • 134
  • 124

Lakin, dəyişikliklərin olmasını istəyirsənsə (sifarişin vacib olduğu yerdə eyni dəstin 24 fərqli imkanı var. Sadəcə -də sadalanan ilk ədədlər dəstini götür və onu necə sifariş edə biləcəyini düşün.

  • 123
  • 132
  • 321
  • 312
  • 231
  • 213

Nömrələri sifariş etməyin altı yolu var, yəni dörd ədəddən ibarət dəsti sifariş etməyin 4 x 6 yolu var.

Təkrarlamalar

Təkrarlamalar yalnız təkrarlanan ədədlərdir. Doğru formul seçərkən vacib olurlar.

  • 123 -də təkrar yoxdur (bu ədədlərin hər biri özünəməxsusdur).
  • 223 -də 2 nömrəsi təkrarlanır.

Təkrarlamağaicazə vermək vəziyyətinizdən asılıdır. Misal üçün:

  • Qarışıq kilidlər istənilən mövqedə istənilən nömrəyə sahib ola bilər (məsələn, 9, 8, 9, 2), buna görə təkrarlamalara icazə verilir. Burada "9" rəqəmi iki dəfə görünür.
  • Lotereya nömrələri təkrarlamağa icazə vermir. Eyni bilet eyni biletdə iki dəfə görünməyəcək. Məsələn, 67, 76 və 99 nömrələrini seçə bilərsiniz. Ancaq qazanan bilet olaraq 67, 67 və 67 seçə bilməzsiniz.

Təkrarlara icazə veriləcəyini məntiq sizə bildirməlidir. Məsələn, dəyişdirilməyəcək əşyalarla (lotereya topları kimi) məşğul olsanız, icazə verilməyən təkrarlara baxırsınız.

Başa Dön

Düsturlar

Kombinasiya (C) və permütasyon (P) hər birinin öz düsturu var:



Bu sadəcə çarpma və bölmədir. "!" faktorial simvoldur. Bu rəqəmləri vurmağın xüsusi bir yoludur. Faktorialı əldə etmək üçün 1 -ə çatana qədər rəqəmin altındakı hər bir rəqəmlə vurun. Məsələn:

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2! = 2 x 1 = 2

Google sizin üçün faktoriallar hazırlaya bilər. 4 yazın ! Google axtarışına daxil olun və cavabı alacaqsınız (24).

Permütasiya düsturları

İki permütasiya formulu var. Hansını seçdiyiniz təkrarların olub -olmamasından asılıdır.

Təkrarlamalarüçün düstur:

nr.

  • N, seçdiyiniz şeylərin sayıdır,
  • r maddələrin sayıdır.

Məsələn, 10 nömrəli (0 -dan 9 -a qədər) birləşmə kilidi üçün 3 ədəd seçdiyinizi söyləyin. Yer dəyişdirmələriniz 10 r = 1.000 olardı.

NO təkrarlamaüçün düstur belədir:

n! / (n - r)!

  • N, seçdiyiniz şeylərin sayıdır,
  • r maddələrin sayıdır.
  • "!" bir ədədin faktorialıdır. (Bax: Bir ədədin faktorialı nədir? )

Məsələn, deyək ki, 3 nəfərlik komitədən 16 nəfər seçə bilərsiniz. Mümkün yerdəyişmələrin sayı:

16! / (16 - 3)! = 16! / 13! = 3,360.

Başa Dön

Formula və nümunələrin birləşməsi

Kombinasiyaların formulu belədir:

Misal 1: 5 3 seçin

5C3 və ya 5 seçin 3, bir anda 3 alınan 5 maddədən neçə kombinasiyanın mümkün olduğunu bildirir. Birləşmə nədir? Siyahıdan maddələr seçə biləcəyiniz yolların sayı. Məsələn, bir qutuda beş fərqli meyvə varsa və 2 dənə seçə bilsəniz, alma və portağal, portağal və armud və ya armud və portağal ala bilərsiniz. Ancaq neçə kombinasiya mümkündür?

Nümunələr üçün videoya baxın:

5 3 seçin: Nümunə

Al, Betty, Charlie, Delilah, Erindən 5C3 tapın.

Bu siyahıdan 3 nəfəri (Al, Betty, Charlie, Delilah, Erin) götürə biləcəyiniz mümkün yolların sayı:

  • Al / Betty / Charlie,
  • Əl / Betti / Delila,
  • Al / Betty / Erin,
  • Al / Charlie / Delilah,
  • Al / Charlie / Erin,
  • Al / Delilah / Erin,
  • Betty / Charlie / Delilah,
  • Betty / Charlie / Erin,
  • Betti / Delila / Erin,
  • Charlie / Delilah / Erin.

Beləliklə, 5 3 = 10 mümkün birləşməni seçin.

Bununla birlikdə, 5 seçim 3 -ü tapmaq üçün qısa yolvar . Kombinasiyalar formulu belədir:

n = maddələrin sayı.

r = bir anda neçə maddə alınır.

! simvolu faktorialdır, bu rəqəm ondan əvvəlki bütün ədədlərlə vurulur. Məsələn, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 və 3! = 3 x 2 x 1 = 6.

Beləliklə, 5C3 üçün düstur belə olur:

nCr = 5!/ (5 - 3)! 3!

nCr = 5!/ 2! 3!

nCr = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) (3 * 2 * 1)

nCr = 120 / (2 * 6)

nCr =

120/12 nCr = 10

Qeyd: "5c3" dəki C çox vaxt "seç" olaraq yazılsa da, əslində birləşmə deməkdir !

Misal 2: 4 2 seçin

Sual: 4 maddədən 2 -ni seçsəniz neçə fərqli kombinasiya əldə edirsiniz?

Cavab:Verilən ədədləri birləşmə tənliyinə daxil edin və həll edin. "N", dəstdəki elementlərin sayıdır (bu nümunədə 4); "R" seçdiyiniz maddələrin sayıdır (bu nümunədə 2):

C (n, r) = n! / r! (n - r)!

= 4! / 2! (4 - 2)!

= 4! /2! * 2!

= 4 x 3 x 2 x 1/2 x 1 * 2 x 1

= 24/4

= 6

Çözüm 6 -dır. Mümkün birləşmələrin tam siyahısı:

Qeyd: , , və siyahıya daxil deyil, çünki kombinasiyalarla eyni dəst üçün iki dəfə eyni maddəni seçə bilməzsiniz.

Misal 3: 4 3 seçin

4 maddədən 3 -ü seçsəniz neçə fərqli birləşmə əldə edirsiniz?

Cavab:Verilən ədədləri birləşmə tənliyinə daxil edin və həll edin. "N", dəstdəki elementlərin sayıdır (bu nümunədə 4); "R" seçdiyiniz maddələrin sayıdır (bu nümunədə 3):

C (n, r) = n! / r! (n - r)! =

= 4! / 3! (4 - 3)!

= 4 x 3 x 2 x 1/3 x 2 x 1 x 1

= 24/6

= 4

Çözüm 4. Mümkün birləşmələr:

Qeyd: kimi dəstlər hesablamaya daxil edilmir, çünki bir dəst üçün bir dəfədən çox element seçə bilməzsiniz.

Misal 4: 4 0 seçin

4 0 -ı 1

-dir . Niyə? Bu ağıl əyən kimi görünə bilər; nece birini seçib yenə də 1 ala bilərsən? Ancaq buna bir az fərqli şəkildə baxmaq lazımdır.

Kombinasiyalar, daha böyük bir dəstin müxtəlif alt qruplarını təşkil edə biləcəyiniz müxtəlif yolların tam yayılmasıdır. Sadə bir nümunə üçün A = ​​çoxluğunu götürün. Bu dəstdən dörd alt dəsti yarada bilərsiniz: <>, , və . Bu alt qruplara A dəstinin birləşməsi deyilir.

4 maddəniz varsa və heç birini seçmirsinizsə, dəstdə hələ də həmin dörd maddə var: . Başqa sözlə, heç bir şey götürmədiniz, buna görə hələ də hamısı var, yəni 1 dəst.

Başa Dön

Hansı formuldan istifadə edəcəyimi bilmirəmsə nə edim?

Əksər hallarda, əvəzetmə formulunu və ya birləşmə formulunu istifadə etməyiniz lazım olduğunu söyləmirlər. Problemin həllinin bir hissəsi, bunu özünüz başa düşməyinizdir. Aşağıdakı nümunələr bunu necə edəcəyinizi göstərir.

Nümunə problem #1:100 bingo nömrəsi olan bir topdan beş bingo nömrəsi seçilir. Fərqli nömrələri seçməyin neçə mümkün yolu var?

Addım 1: Permütasiyalarınızvə ya birləşmələriniz olubolmadığını anlayın. Bingo'da sifarişin əhəmiyyəti yoxdur. Və ya bu mövzuda, əksər lotereya oyunları. Sifarişin əhəmiyyəti olmadığı üçün bu bir kombinasiyadır.

Addım 2: Nömrələrinizi formula daxil edin.Maddələrin sayı (Bingo ədədləri) "n" dir. Və "k", sıralamaq istədiyiniz maddələrin sayıdır. 100 Bingo nömrəniz var və eyni anda 5 seçirsiniz:



Addım 3: Həll edin:



2 nömrəli problem nümunəsi.Prezident, vitse -prezident, CEO və katib olmaq üçün beş nəfər seçilir. Əvvəlcə prezident, digər üç vəzifə seçiləcək. Vəzifələri neçə fərqli yolla doldurmaq olar?

Addım 1: Permütasiyalarınızvə ya birləşmələriniz olubolmadığını anlayın. İnsanları bu vəzifələrə atmaq olmaz; Xüsusi işlər üçün müəyyən bir qaydada seçilirlər. Buna görə də, bu, permütasiya problemidir.

Addım 2: Nömrələrinizi formula daxil edin.Komitəyə qoya biləcəyiniz beş nəfər var. Yalnız dörd vəzifə mövcuddur. Buna görə "n" (seçim etməli olduğunuz maddələrin sayı) 5 və "k" (mövcud yuvaların sayı) 4 -dir:



Addım 3: Həll edin:

Kalkulyator haqqında göstərişlər

İnternetdə bir neçə seçiminiz var.

    faktorialları qiymətləndirəcək. 5 yazın! Google axtarışına daxil edin və Google kalkulyatorunda cavab olaraq sizə 120 verər.
  • Onlayn birləşmələr kalkulyatorumuzdan istifadə edin . Bu yalnız nəticə vermir - həm də işləməyinizi təmin edir!

Excel -də dəyişikliklər və birləşmələr

Permutasiyalar düsturu: PERMUT (sayı, sayı_ seçilmiş)

Məsələn, 100 maddəniz varsa və 4

-ü seçmək istəsəniz, boş xanaya aşağıdakıları yazardınız : = PERMUT (100,4)

Kombinasiyalar düsturu: KOMBİN (nömrə, sayı_ seçilmiş)

Məsələn, 99 maddəniz varsa və 10 seçmək

istəsəniz , aşağıdakıları boş bir xanaya yazardınız : -COMBIN (99,10)

TI 83 birləşməsi (n! / (N - r!) R!)

Bir nümunə üçün videoya baxın:

Nümunə problemi:Barb, Sue, Jan, Jim və Rob 5 nəfərdən ibarətdirsə və yeni valideyn müəllimlər birliyinə yalnız üç nəfər seçiləcəksə, komitə üçün neçə kombinasiya mümkündür?

Addım 1:Seçməli olduğunuz ana ekrandakı maddələrin sayını (əsas giriş sahəsi) daxil edin. Yuxarıdakı nümunədə 5 nəfəriniz var, buna görə 5 -ə basın.

Addım 2:Riyaziyyat düyməsini basın.

Addım 3:"PRB" bölməsinə keçmək üçün sağ ox düyməsini istifadə edin.

Addım 4:3 düyməsini basın. Bu, nCr -ı ana ekrana daxil edir.

Addım 5:Seçmək istədiyiniz maddələrin sayını daxil edin. Yuxarıdakı nümunədə 3 seçmək istədiyiniz üçün 3 düyməsini basın.

Addım 6:ENTER düyməsini basın. Kalkulyator nəticəni qaytaracaq: 10.

TI 83 Permütasiyalar (n! / (N - r!))

Bir nümunə üçün videoya baxın:

Nümunə problemi:5 nəfər varsa, Barb, Sue, Jan, Jim və Rob və üçü yeni Valideyn Müəllim Birliyi üçün seçiləcək. İlk seçilən şəxs prezident, sonra vitse -prezident, sonra katib olacaq. Komitə üçün neçə dəyişmə mümkündür?

Addım 1:Seçməli olduğunuz ana ekrandakı maddələrin sayını(əsas giriş sahəsi) daxil edin. Yuxarıdakı nümunədə 5 nəfəriniz var, buna görə 5 -ə basın.

Addım 2:Press Mathdüyməsini basın.

Addım 3:" PRB" bölməsinəkeçmək üçün sağ oxdüyməsini istifadə edin .

Addım 4:2 düyməsini basın. Bu, nPr -ni ana ekrana əlavə edir.

Addım 5:Seçmək istədiyiniz maddələrin sayını daxil edin. Yuxarıdakı nümunədə 3 seçmək istədiyiniz üçün 3 düyməsini basın.

Addım 6:ENTER düyməsinibasın . Kalkulyator nəticəni qaytaracaq: 60.

Bələdçi kitabınızı itirmisiniz? TI veb saytından yenisini buradan yükləyin.

TI 89 birləşmələri: addımlar:

Nümunə problemi: Barb, Sue, Jan, Jim və Rob 5 nəfər olarsa və yeni valideyn müəllimlər birliyinə yalnız üç nəfər seçiləcəksə, komitə üçün neçə kombinasiya mümkündür?

Addım 1:Kalkulyatordakı HOME ekranını basın.

Addım 2:KATALOQ düyməsini basın.

Addım 3:ALPHA 6 düyməsini basın. Bu, "n" hərfini seçir və sizi siyahıdakı "n" hərflərinə gətirir. Əks təqdirdə yenidən ALPHA 6 düyməsini basmağa çalışın.

Addım 4:nCrtapın . ENTER düyməsini basın.

Addım 5: 5 -əbasın. Bu, mümkün olan insanların sayıdır və ya n.

Addım 6:Vergiyə basın, sonra 3. Bu, seçməyimiz lazım olan insanların sayıdır və ya r.

Addım 7:basın). Kalkulyatorunuzdakı giriş indi nCr (5,3)oxumalıdır . ENTER düyməsini basın. Bu nəticəni qaytarır. Bu komitənin seçilməsinin 10mümkün yolu var .

İpucu: ALPHA və 6 düymələrinə basmaq əvəzinə menyuya keçmək üçün sürüşdürmə düyməsini istifadə edin.

İpucu: Cavabınızı yoxlamaq istəyirsiniz? İşinizi yoxlamaq üçün pulsuz, onlayn birləşmələr kalkulyatorumuzdan və permütasiyalar kalkulyatorumuzdan istifadə edin.

Dəyişikliklər: tərif.

Dəyişikliklər, heç bir obyektin orijinal, doğru və ya təbii yerinə qaytarılmadığı yerdəyişmələrdir. Bəzən onlara tam permütasiyalar və ya rencontres ədədləri deyilir .

Bunu söyləməyin başqa bir yolu, bir pozğunluğun sabit nöqtələri olmayan bir yer dəyişdirməsidir. i (i) ≠ i hər bir permütasiya edildikdə, burada:

  • π permütasiya,
  • i, hərəkətə keçən obyektlərdir.

Qeyd : Pi, permütasyonlar üçün kifayət qədər standart bir notadır; hər hansı bir yunan hərfi ədalətli bir oyundur, amma ümumilikdə pi hər tərəfdə seçilən hərfdir.

  • Bir elementdən ibarətbir dəst üçün heç bir pozğunluq mümkün deyil ; Set başqa cür yazıla bilməz.
  • İki elementdən ibarətbir dəstdə yalnız bir pozğunluq var. Məsələn, pozğunluq edir .
  • Üç elementdən ibarətbir dəst üçün , iki mümkün pozğunluq var. (Əgər dəstinizdirsə , sonra və iki ehtimal var.

Düstur

N elementlər toplusunun permütasiya sayı n ilə verilir! (n faktorial və ya n · (n-1) · (n-2)… (1)). D n yazdığımız n elementlər dəstinin pozğunluqlarının sayı ilə verilir

Bu uzun və mürəkkəb görünür, amma kiçik bir hesablama onu istifadə etmək çox asan bir tənliyə endirə bilər:

  • Kvadrat mötərizə, [], 'ən yaxın tamsayı funksiyadır', mötərizədə olan hər şeyi ən yaxın tamsayıya yuvarlaqlaşdıran bir funksiyadır.
  • "E" Eulerin nömrəsidir.

Bozuklukların sayı bəzən! N olaraq da yazılır və sonra subfaktorial adlanır .

Dəyişiklik problemlərinə nümunələr

Yuxarıdakı düstur daha çox əlaqəli sualları həll etməyə imkan verir: "Altı şagird telefonlarını bir çantaya qoydu və sonra hamısı təsadüfən birini götürdü. Heç kimin öz telefonunu əldə etmə ehtimalı nədir? ”

Bu vəziyyətdə mümkün permütasyonların sayı 6! Və ya 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 -dir. Mümkün olan pozuntuların sayı [6!/E] və ya 265 -dir. öz telefonunu almaq 265/720 və ya yüzdə 36.

Daha çox statistika üçün Youtube kanalımıza baxın! Hər həftə daha çox video əlavə olunur. Yeniliklər üçün abunə olun. Şərhlər həmişə xoş gəlir.

İstinadlar

"Klein, G. (2013). Statistikaya Cizgi Giriş. Hill & Wamg ”

Kotz, S .; və s., eds. (2006), Statistika Elmləri Ensiklopediyası, Wiley.

Lindstrom, D. (2010). Schaum -un Statistikanın Xülasəsi, İkinci Nəşr (Schaum -un Asan Xülasələri) 2 -ci Nəşr. McGraw-Hill Təhsil

Wheelan, C. (2014). Çılpaq Statistika. WW Norton & Company

Ev tapşırığı və ya test sualına kömək lazımdırmı?İlə Facebook səhifə.